Makalah Pengaplikasian Teori Belajar Robert Gagne dalam Pembelajaran

A.    Teori Belajar Gagne
 

Gagne mengemukakan bahwa belajar adalah perubahan yang terjadi dalam kemampuan manusia yang terjadi setelah belajar secara terus-menerus, bukan hanya disebabkan oleh pertumbuhan saja. Belajar terjadi apabila suatu situasi stimulus bersama dengan isi ingatannya mempengaruhi siswa sedemikian rupa sehingga perbuatannya berubah dari sebelum ia mengalami situasi dengan setelah mengalami situasi tadi. Belajar dipengaruhi oleh faktor dalam diri dan faktor dari luar siswa di mana keduanya saling berinteraksi.

Komponen-komponen dalam proses belajar menurut Gagne dapat digambarkan sebagai S - R. S adalah situasi yang memberi stimulus, R adalah respons atas stimulus itu, dan garis di antaranya adalah hubungan di antara stimulus dan respon yang terjadi dalam diri seseorang yang tidak dapat kita amati, yang bertalian dengan sistem alat saraf di mana terjadi transformasi perangsang yang diterima melalui alat dria. Stimulus ini merupakan input yang berada di luar individu dan respon adalah outputnya, yang juga berada di luar individu sebagai hasil belajar yang dapat diamati.

Menurut Gagne belajar matematika terdiri dari objek langsung dan objek tak langsung. objek tak langsung antara lain kemampuan menyelidiki, kemampuan memecahkan masalah, ketekunan, ketelitian, disiplin diri, bersikap positif terhadap matematika. Sedangkan objek tak langsung berupa fakta, keterampilan, konsep, dan prinsip.

Fakta adalah konvensi (kesepakatan) dalam matematika seperti simbol-simbol matematika. Fakta bahwa 2 adalah simbol untuk kata ”dua”, simbol untuk operasi penjumlahan adalah ”+” dan sinus suatu nama yang diberikan untuk suatu fungsi trigonometri. Fakta dipelajari dengan cara menghafal, drill, latiahan, dan permainan.

Keterampilan (Skill) adalah suatu prosedur atau aturan untuk mendapatkan atau memperoleh suatu hasil tertentu. contohnya, keterampilan melakukan pembagian bilangan yang cukup besar, menjumlahkan pecahan dan perkalian pecahan desimal. Para siswa dinyatakan telah memperoleh keterampilan jika ia telah dapat menggunakan prosedur atau aturan yang ada dengan cepat dan tepat.keterampilan menunjukkan kemampuan memberikan jawaban dengan cepat dan tepat.

Konsep adalah ide abstrak yang memunkinkan seseorang untuk mengelompokkan suatu objek dan menerangkan apakah objek tersebut merupakan contoh atau bukan contoh dari ide abstrak tersebut. Contoh konsep himpunan, segitiga, kubus, lingkaran. siswa dikatakan telah mempelajari suatu konsep jika ia telah dapat membedakan contoh dan bukan contoh. untuk sampai ke tingkat tersebut, siswa harus dapat menunjukkan atribut atau sifat-sifat khusus dari objek yang termasuk contoh dan yang bukan contoh.

Prinsip adalah pernyataan yang memuat hubungan antara dua konsep atau lebih. Prinsip merupakan yang paling abstrak dari objek matematika yang berupa sifat atau teorema. Contohnya, teorema Pytagoras yaitu kuadrat hipotenusa pada segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat dari dua sisi yang lain. Untuk mengerti teorema Pytagoras harus mengetahui konsep segitiga siku-siku, sudut dan sisi. Seorang siswa dinyatakan telah memahami prinsip jika ia dapat mengingat aturan, rumus, atau teorema yang ada; dapat mengenal dan memahami konsep-konsep yang ada pada prinsip tersebut; serta dapat menggunakannya pada situasi yang tepat.

Berdasarkan analisisnya tentang kejadian-kejadian belajar, Gagne menyarankan kejadian-kejadian instruksi. Menurut Gagne, bukan hanya guru yang dapat memberikan instruksi kejadian-kejadian belajarnya dapat juga diterapkan baik pada belajar penemuan, atau belajar di luar kelas, maupun belajar dalam kelas. Tetapi kejadian-kejadian instruksi yang dikemukakan Gagne ditunjukkan pada guru yang menyajikan suatu pelajaran pada sekelompok siswa-siswa. Kejadian-kejadian instruksi itu adalah :

1.      Mengaktifkan motivasi (activating motivation)

2.      Memberi tahu tujuan-tujuan belajar

3.      Mengarahkan perhatian (directing attention)

4.      Merangsang ingatan (stimulating recall)

5.      Menyediakan bimbingan belajar

6.      Meningkatkan retensi (enhancing retention)

7.       Melancarkan transfer belajar

Robert M. Gagne membedakan pola-pola belajar siswa ke delapan tipe belajar, dengan tipe belajar yang rendah merupakan prasyarat bagi lainnya yang lebih tinggi hierarkinya. Hal tersebut akan diuraikan sebagai berikut:

1.      Belajar Isyarat (Signal Learning)

Signal learning dapat diartikan sebagai proses penguasaan pola-pola dasar perilaku bersifat tidak disengaja dan tidak disadari tujuannya. Dalam tipe ini terlibat aspek reaksi emosional di dalamnya. Kondisi yang diperlukan buat berlangsungnya tipe belajar ini adalah diberikannya stimulus (signal) secara serempak, stimulus-stimulus tertentu secara berulang kali. Respon yang timbul bersifat umum dan emosional, selainnya timbulnya dengan tak sengaja dan tidak dapat dikuasai.

2.      Rantai atau Rangkaian hal (Chaining)

Tipe belajar ini masih mengandung asosiasi yang kebanyakan berkaitan dengan keterampilan motorik. Chaining ini terjadi bila terbentuk hubungan antara beberapa S-R, oleh sebab yang satu terjadi segera setelah yang satu lagi, jadi berdasarkan ”contiguity”. Kondisi yang diperlukan bagi berlangsungnya tipe balajar ini antara lain, secara internal anak didik sudah harus terkuasai sejumlah satuan satuan pola S-R, baik psikomotorik maupun verbal. Selain itu prinsip kesinambungan, pengulangan, dan reinforcement tetap penting bagi berlangsungnya proses chaining.

3.      Asosiasi Verbal (Verbal Association)

Asosiasi verbal adalah rangkaian dari stimulus verbal yang merupakan hubungan dari dua atau lebih tindakan stimulus respon verbal yang telah dipelajari sebelumnya. Tipe paling sederhana dari belajar rangkaian verbal adalah asosiasi antara suatu objek dengan namanya yang melibatkan belajar rangkaian stimulus respon dari tampilan objek dengan karakteristiknya dan stimulus respon dari pengamatan terhadap suatu objek dan memberikan tanggapan dengan menyebutkan namanya.

4.      Belajar Diskriminasi (Discrimination Learning)

Discrimination learning atau belajar menmbedakan sejumlah rangkaian, mengenal objek secara konseptual dan secara fisik. Dalam tipe ini anak didik mengadakan seleksi dan pengujian di antara dua peransang atau sejumlah stimulus yang diterimanya, kemudian memilih pola-pola respon yang dianggap sesuai. Kondisi utama bagi berlangsungnya proses belajar ini adalah anak didik sudah mempunyai kemahiran melakukan chaining dan association serta pengalaman (pola S-R). Contohnya: anak dapat membedakan manusia yang satu dengan yang lain; juga tanaman, binatang, dan lain-lain. Guru mengenal anak didik serta nama masing-masing karena mampu mengadakan diskriminasi di antara anak-anak.

5.      Belajar konsep (Concept Learning)

Belajar konsep adalah mengetahui sifat-sifat umum benda konkrit atau kejadian dan mengelompokan objek-objek atau kejadian-kejadian dalam satu kelompok. Dalam hal ini belajar konsep adalah lawan dari belajar dari diskriminasi. Belajar diskriminasi menuntut siswa untuk membedakan objek-objek karena dalam karakteristik yang berbeda sedangkan belajar konsep mengelompokkan objek-objek karena dalam karakteristik umum dan pembahasan kepada sifat-sifat umum.

6.      Belajar Aturan (Rule Learning)

Belajar aturan (Rule learning) adalah kemampuan untuk merespon sejumlah situasi (stimulus) dengan beberapa tindakan (Respon). Kebanyakan belajar matematika adalah belajar aturan. sebagai contoh, kita ketahui bahwa 5 x 6 = 6 x 5 dan bahwa 2 x 8 = 8 x 2; akan tetapi tanpa mengetahui bahwa aturannya dapat dinyatakan dengan a x b = b x a. Kebanyakan orang pertama belajar dan menggunakan aturan bahwa perkalian komutatif adalah tanpa dapat menyatakan itu, dan biasanya tidak menyadari bahwa mereka tahu dan menerapkan aturan tersebut. Untuk membahas aturan ini, harus diberikan verbal(dengan kata-kata) atau rumus seperti “ urutan dalam perkalian tidak memberikan jawaban yang berbeda” atau “untuk setiap bilangan a dan b, a x b = b x a.

7.      Pemecahan Masalah (Problem solving)

Tipe belajar ini menurut Gagne merupakan tipe belajar yang paling kompleks, karena di dalamnya terkait tipe-tipe belajar yang lain, terutama penggunaan aturan-aturan yang disertai proses analisis dan penarikan kesimpulan. Pada tingkat ini siswa belajar merumuskan memecahkan masalah, memberikan respon terhadap ransangan yang menggambarkan atau membangkitkan situasi problematik. Tipe belajar ini memerlukan proses penalaran yang kadang-kadang memerlukan waktu yang lama, tetapi dengan tipe belajar ini kemampuan penalaran siswa dapat berkembang. Dengan demikian poses belajar yang tertinggi ini hanya mungkin dapat berlangsung apabila proses belajar fundamental lainnya telah dimiliki dan dikuasai.

B.     Implementasi Pembelajaran Matematika SD Berdasarkan Teori Gagne

Teori belajar Gagne dapat diterapkan dalam proses pembelajaran di Indonesia. Ada beberapa pendekatan dan langkah-langkah agar bisa menerapkan teori tersebut dalam proses pembelajaran.

Materi yang akan diambil adalah pembelajaran mengenai pengenalan operasi penjumlahan serta pengurangan pada siswa kelas rendah. Alat peraga berupa gambar lambang bilangan, gambar lambang operasi bilangan dan media kongkrit (misal: permen, apel, pensil, wafer)

Berdasarkan konsep Sembilan Kondisi Intruksional Gagne maka kita bisa menyusun rancangan kegiatan belajar mengajar sebagai berikut:

1.      Memperoleh Perhatian

Kegiatan ini merupakan proses guru dalam memberikan stimulus kepada siswa dengan cara meyakinkan siswa bahwa mempelajari materi tersebut itu penting. Hal ini bisa dilakukan melalui pertanyaan-pertanyaan ringan seputar materi yang akan disajikan.

Contoh : mengajak siswa berkenalan dengan bilangan dan mengetahui lambang bilangan dengan cara memulai komunikasi dengan siswa. Guru menunjukkan alat peraga berupa gambar-gambar lambang bilangan serta media-media yang menarik agar siswa memfokuskan diri untuk memulai pelajaran.

2.      Memberikan Informasi Tujuan Pembelajaran

Dalam hal ini guru harus mengupayakan untuk memberitahu siswa akan tujuan pembelajaran. Sehingga siswa mengetahui tujuan dari materi pembelajaran yang dipelajarinya. Ini sangat penting dilakukan agar siswa lebih termotivasi untuk bisa mencapai tujuan pembelajaran.

Contoh: guru memberikan informasi menarik bahwa pembelajaran kali ini kita akan belajar mengenai operasi bilangan. Guru juga mengucapkan bahwa setelah pelajaran ini siswa dapat berhitung, sehingga besok bisa menghitung jumlah barang yang ia (siswa) miliki baik dari pemberian barang oleh orang lain ataupun barang yang sebelumnya sudah ia miliki.

3.      Merangsang siswa untuk mengingat kembali apa yang telah dipelajari

Upaya merangsang siswa dalam mengingat materi yang lalu bisa dilakukan dengan cara bertanya tentang materi yang telah diajarkan.

Contoh: guru menanyakan tentang nama bilangan yang guru tunjukkan. Dalam hal ini guru sudah menyiapkan media berupa gambar lambang bilangan.

4.       Menyajikan stimulus

Menyajikan stimulus bisa dilakukan dengan cara guru menyajikan materi pembelajaran secara menarik dan menantang. Sehingga siswa merasa tertarik untuk mengikuti pembelajaran yang sedang berlangsung.

Contoh: guru membagi siswa kedalam 4 kelompok. Dalam pembagian kelompok ini guru juga mengajak siswa untuk menghitung berapa jumlah teman dalam satu kelomponya. Pada tiap-tiap kelompok, guru membagikan masing-masing 10 permen. Dalam hal ini tentu siswa sudah bertanya-tanya, keadaan ini semakin dirangsang oleh guru dengan mengatakan bahwa kegiatan kali ini adalah lomba menghitung. Aturan mainnya tiap anggota kelompok bekerjasama menjawab pertanyaan guru mengenai penjumlahan dan pengurangan yang guru lakukan menggunakan media benda. Apabila kelompok tersebut salah maka kelompok tersebut wajib mensodaqohkan satu buah permennya kepada kelompok lain.

5.      Memberikan bimbingan kepada siswa

Seyogyanya guru harus membimbing siswa dalam proses belajarnya. Sehingga siswa dapat terarah dalam pembelajarannya.

Contoh: dalam proses penghitungan/pemberian soal yang diberikan oleh guru, siswa satu kelompok diminta untuk menghitungnya sembari guru menunjukkan jumlah bilangan tersebut.

6.       Memancing Kinerja

Memantapkan apa yang dipelajari dengan memberikan latihan-latihan untuk menerapkan apa yang telah dipelajari itu.

Contoh: guru memancing kinerja berupa mengajak berhitung siswa satu kelas tentang hasil penghitungan yang dilakukan oleh kelompok lain.

7.      Memberikan balikan

Memberikan feedback atau balikan dengan memberitahukan kepada murid apakah hasil belajarnya benar atau tidak.

Contoh: guru menanyakan kepada siswa sudah benar atau belum. Hal ini juga semakin memantapkan hasil penghitungan yang dilakukan oleh siswa.

8.       Menilai hasil belajar

Menilai hasil-belajar dengan memberikan kesempatan kepada murid untuk mengetahui apakah ia telah benar menguasai bahan pelajaran itu dengan memberikan beberapa soal.

Contoh: meminta siswa menulis hasil penjumlahan yang dilakukan dalam permainan tadi menggunakan lambang bilangan yang benar.

9.       Mengusahakan transfer

Mengusahakan transfer dengan memberikan contoh-contoh tambahan untuk menggeneralisasi apa yang telah dipelajari itu sehingga ia dapat menggunakannya dalam situasi-situasi lain.

Contohnya: ajak siswa memecahkan masalah yang diceritakan oleh guru sebelum pelajaran selesai

Read More

Tuhan dalam Diri Kita

Oleh: Ammar Fauzi Heryadi
 

Di dunia kita sekarang, kursi listrik sudah lama dikategorikan alat siksa yang paling tidak manusiawi. Sebelum listrik ditemukan, orang akan sulit membayangkan manusia terkejang-kejang, teriak secara bertahap dan meronta-ronta lalu sekarat di atas kursi besi. Tanpa ampun lagi, Amerika dikecam dunia lantaran negara itu paling banyak memproduksi alat siksa tersebut. Konon dalam legenda Yunani Kuno, kita temukan padanannya pada ranjang siksa milik Procrustes, perampok yang beroperasi di antara Magaru dan Athena. Untuk menghabisi korban, ia menidurkannya di atas ranjang tersebut untuk diukur sesuai panjangnya. Nah, jika tubuh  si korban lebih panjang dari ukuran ranjang, Procrustes akan memotong bagian kepala atau kakinya. Tapi bila lebih pendek, ia akan menarik dan menarik tubuhnya sampai seukuran ranjang itu.  Kursi listrik mungkin lebih mendekatkan bayangan kita dengan patung sapi yang dibuat raja Phalaris untuk menyiksa korbannya dengan memasukkannya ke dalam perut patung itu lalu membakarnya.

Boleh jadi ini tidak seberapa dibandingkan buku Serial Killers yang dihimpun oleh Joyce Robins dan Peter Arnold. Mereka bilang, bahwa inilah cerita nyata tentang para pembunuh yang paling biadab, hanya untuk membantu kita supaya lebih mudah membayangkan apa yang dilaporkan. Supaya lebih mudah membayangkan. Sesudah itu, bisakah kita membayangkan yang lebih biadab? Bisakah  kita secara lebih kejam mendekonstruksi dalam benak kita pemburuan Countess Elizabeth Bathory atas anak-anak gadis belia, membiarkan tubuh mereka sekarat, dikerat, dilubangi dan mati membusuk? Setelah kita menyaksikan penyiksaan Amerika atau Inggris di Guantenamo dan Abu Ghureib, bisakah kita menggubahnya secara lebih sadis lagi?

Sebaliknya dalam pembangunan peradaban yang maju, kebanyakan kita mungkin akan mengira orang jaman dulu akan terperangah setengah napas melihat keserbacanggihan dunia kita, persis saat para wartawan Olimpiade di Olympia terkagum-kagum menghitung kekayaan peradaban masa lampau; kadang digambarkan sebagai keajaiban  yang sulit dijabarkan dengan ilmu modern,  atau sebagai kehebatan membangun teknik akustik canggih di arena terbuka. Lalu, bisakah kita membayang lebih wah lagi dari semua itu? Selaras dengan kata Bertrand Rassell bahwa hasrat manusia itu tak terbatas, daya bayang dan imajiner kita pun begitu liar bahkan melampaui hal-hal yang mustahil secara matematis.

Benar kata Sigmund Frued, daya bayang begitu kuat berperan dalam kerja-kerja inovatif, menciptakan keunikan dan keluarbiasaan. Daya bayang dan bayangan di benak ini pula pernah dipetik oleh Allamah Thabathabai dalam memberikan pendekatan intuitif, pendekatan lewat mata hati mengenai kaitan kita dengan Tuhan, yakni seerat kaitan kita dan khayalan yang kita bayangkan sendiri. Seakan ia hendak mendorong kita untuk memutuskan sendiri dengan melibatkan diri dalam pendekatan itu.

Andaikan saja! Kita bayangkan di benak kita sosok Bush; kita bisa apakan saja; mau kita karikaturkan seganjil mungkin, mau kita dewakan segagah mungkin, bahkan kita bisa pupuskan dari benak kita kapan saja kita mau. Maka, kita punya kekuasaan penuh atas bayangan yang kita bayangkan. Bayangan Bush itu tidak bisa keluar dari kendali jiwa dan kekuatan imajiner kita. Di hadapan ikhtiyar kita, ia tidak punya apa-apa, sama sekali. Ia tidak punya kuasa dan hak memutuskan sendiri serta berdiri mandiri. Saking tidak ada apa-apanya, ia bahkan tidak bisa menerima hak dan izin dari kita untuk mandiri.

Barangkali masing-masing kita tidak pernah membayangkan bahwa bayangan yang kita ciptakan di benak akan meludah saat kita gubah, akan melotot saat kita jungkirbalikkan. Sepertinya kita begitu yakin pada pengalaman sepanjang ini, bahwa apapun khalayan di benak kita selalu patuh dan pasrah mutlak di hadapan kehendak dan keinginan kita. Bukan keajaiban bila Bush di benak kita laksana adonan di tangan yang siap menerima segala bentuk.

Coba kita lepaskan imajinasi kita untuk membayangkan Bush yang ada di benak itu menggeliat sendiri apalagi bertingkah seperti dia di Irak, membayangkan Condoleezza Rice sendiri melipstik merah bibir hitamnya sebelum berstrategi di tengah aula khayalan kita, membayangkan Collin Powell sendiri joget di atas lantai bayangan kita, tentu akan amat menjengkelkan kita daripada kejengkelan ketua partai atas ngelamak seorang kadernya. Dalam keadaan ini, kita bisa mengambil keputusan menindak mereka lebih dari kekejaman terakhir yang pernah kita bayangkan.

Allamah Thabathabai hendak mengingatkan kita, bahwa Jika kita sebegitu hebat dan kuasanya memperlakukan, mendatangkan dan melenyapkan bayangan di benak, dan jika bayangan di benak ini sebegitu lemah dan bergantungnya pada jiwa kita, bagaimana besarnya kehebatan dan kekuasaan Allah atas diri kita? Bagaimana dahsyatnya kelemahan dan ketakapa-apaan wujud kita di hadapan-Nya? Dan bagaimana ketatnya kelekatan dan kebergantungan hakikat kita pada Dzat-Nya?  Akankah kita mengira-ngira diri kita lebih kurangnya sama dengan kepapaan bayangan di benak kita, ataukah malah lebih hina dan tidak berharga lagi? Salahkah bila filsuf kita memaknai wujud kita bukan sekedar salah satu dari dua sisi hubungan, tetapi hubungan ketergantungan itu sendiri yang tidak mungkin berdiri mandiri, lepas dan bebas dari kemahakuasaan-Nya?

Dan, bisakah kita bayangkan apa yang akan dilakukan Allah terhadap gejala protes yang kita coba tunjukkan? Tidakkah ngelamak-nya kita, kekurangajaran kita dan kekerdilan kita lebih tolol daripada bayangan kita pada kita sendiri? Kita yang kalaulah tidak lebih remeh dari bayangan Bush atau Powell di benak kita ini, ternyata bisa tidak pasrah mutlak dan begitu konyol meludah serta melotot di atas  batas-batas Sang Pemilik Mutlak wujud kita. Apakah tersisa sedikit hak kita di hadapan keperkasaan-Nya? Sejak kapan kita mulai bicara hak dan hidup sendiri? Sampai kapan kita bicara tanggung jawab-Nya? Di sinilah letak keajaiban satu makhluk bernama manusia yang zalim dan bodoh, yang berbuat di dalam kehadiran Tuhan Yang Akbar. Sebegitu bodohnya hingga terkadang atau terbiasa kita malah berprasangka buruk pada-Nya, berputus asa dari rahmat-Nya. Nabi saw. bersabda, “Hati adalah takhta Allah, di hadapan takhta Allah jangalah bermaksiat!”.

Toh, Allah masih membiarkan kita berumur, memberi kita karunia yang melimpah dari dunia-Nya, meluangkan kita berbuat sebebas kehendak yang dianugerahkan-Nya, dan tidak menuntut kita lebih dari sekedar insaf dan bertaubat. Dalam rasa hancur kita, Dia meminta, “Janganlah berputus asa dari rahmat Allah”. Dalam rasa puas kita, Dia menyuruh, “Bersyukurlah dan jangan menyia-nyiakan!”.

Hafiz Syirazi bergazal:

Kunanti kelembutan hadirat-Mu,

meski durjanaku

kan kuharap ampunan-Mu

Belas kasih Allah ini barangkali malah membingungkan para malaikat, “Akankah Engkau angkat mereka sebagai khalifah-Mu di bumi sementara merekalah yang melakukan pembunuhan dan pengrusakan?!”. Di sinilah letak keajaiban Sang Khaliq Yang Mahakasih Allah swt. Bagaimana Dia memperlakukan hamba-hamba-Nya, melebihi hasrat kasih seorang ibu pada timangannya.

Sepertinya, keterikatan hakikat diri kita pada wujud Tuhan tidak tunduk pada kategori bayangan. Saking ketat dan dahsyatnya keterikatan kita ini, begitu sulit kita dekonstruksikan dalam khayalan dan benak kita. Meski demikian, kita bisa menyaksikannya dengan sangat gamblang. Kebejatan, kehinaan, kebusukan, kekurangajaran maksiat kita di atas arasy kekuasaan Allah memang bukan bayangan, juga kemurahan, keramahan, kasih sayang dan kelembutan-Nya membalas semua itu  bukan pula bayangan, tetapi kenyataan yang bisa dihayati dan diresapi.

Dalam relung penghayatan itu, surga Allah adalah keindahan yang jauh lebih hebat  dari sekedar mengkhayalkan kecanggihan teknik akustik di Olympia itu, dan neraka Allah adalah siksa yang jauh lebih nista dari kekejaman yang bisa kita bayangkan di penjara Abu Ghureib sana. Masih dalam relung itu, surga yang dibukakan benar-benar persembahan, bukan imbalan atas amal baik seorang hamba, dan neraka yang dijanjikan sungguh balasan yang tidak lebih besar dari maksiatnya. Bagaimana manusia sesempurna Ali bin Abi Thalib  itu meratap, “Ilahi, janganlah Engkau dudukkan aku di hadapan keadilan-Mu, namun perlakukan aku dengan kemurahan dan belas kasih-Mu”.

Maka, ada yang mesti kita luruskan yang di atas tadi, bahwa ada banyak kenyataan yang tidak tergubah oleh kekuatan khayal dan ke-liaran bayangan kita. Bahwa kita sungguh bisa melihat keperkasaan, kelembutan dan kasih sayang Allah. Dalam Munajat Tiga Kata, Ali bin Abi Thalib memanjatkan, “Ilahi, betapa besar kemuliaan padaku saat aku menjadi hamba untuk-Mu. Ilahi, betapa besar kebanggaan padaku saat Engkau menjadi Tuhan untukku”.

Sebaliknya, kita pun bisa melihat ketakapa-apaan, kehinaan dan kekurangajaran kita di hadapan Allah. Dalam doa Kumail, Ali kembali membacakan untuk kita, “Duhai Tuanku, begitu banyak keburukan yang kulakukan…dan  begitu banyak sanjungan indah yang bukan milikku namun Kau tebarkan”.

Kalaulah kita sudah putus asa terhadap penjabaran matematis kaum filsuf atas kenyataan itu, atau terhadap  kiasan puitis kaum arif, sungguh kita masih bisa melihatnya dari dalam diri kita sendiri, secara lebih tajam. Tidak dengan imajinasi, tidak dengan akal, tidak pula dengan kata-kata dan pengajaran. Dengan segenap tingkat keawaman, masing-masing kita menyimpan mata hati yang sanggup melakukan penghayatan sejernih mungkin. Bersama Imam Khomeini, mari kita ikrarkan, “Dunia ini adalah aula Tuhan, di dalam aula Tuhan janganlah bermaksiat!”.[]

Read More

Nabi Muhammad SAW adalah Nabi Terakhir

Perkara bahwa nabi Muhammad saw adalah nabi terakhir, adalah perkara yang sudah pasti dan diyakini oleh semua umat Islam. Setelah risalah beliau tidak akan ada lagi nabi yang diutus Tuhan. Banyak sekali ayat-ayat Al Qur’an yang menjelaskan masalah ini, misalnya ayat 41 dan 42 surah Al Furqan, ayat 19 surah Al An’am, ayat 28 surah Saba’, dan seterusnya. Begitu pula riwayat-riwayat yang tak terhitung jumlahnya menjelaskan akidah umat Islam yang satu ini, baik dari kalangan Ahlu Sunah maupun Syiah.

Ada sebuah dialog antara seorang Muslim dengan orang Baha’i. Silahkan anda menyimaknya:

Muslim: “Sebagaimana yang kalian nyatakan, kalian menerima kebenaran Islam dan Al Qur’an. Hanya saja kalian meyakini bahwa setelah Islam ada ajaran lain yang menghapus ajaran Islam. Aku ingin bertanya kepada kalian, bukankah banyak ayat-ayat Al Qur’an yang menjelaskan bahwa Islam adalah agama terakhir dan global hingga akhir jaman?”

Baha’i: “Misalnya ayat apakah itu?”

Muslim: “Di ayat ke-40 surah Al Ahzab Allah swt berfirman:

“Bukanlah Muhammad itu ayah seseorang dari kalian, namun ia adalah utusan Allah dan nabi terakhir. Dan sesungguhnya Allah maha tahu akan segala sesuatu.” (QS. Al Ahzab: 40)

Kata “khatamun nabiyyin” di ayat itu menjelaskan bahwa nabi Muhammad saw adalah nabi terakhir yang diutus Allah swt. Karana kata “khatm” itu berarti akhir dan yang mengakhiri. Jadi tidak ada nabi lain setelah Rasulullah saw yang membawa ajaran baru.”

Bahai: “Khatam berarti cincin yang menjadi hiasan jari. Oleh karena itu yang dimaksud ayat tersebut adalah Rasulullah saw merupakan penghias nabi-nabi.”

Muslim: “Semua ahli tafsir mengakui bahwa arti “khatam” di ayat itu adalah “pengakhir” atau “yang terakhir”, bukan cincin. Karena menurut ahli bahasa, kata khatam tidak pernah diungkapkan untuk mensifati manusia. Kata “khatam” yang berarti cincin itu pun pada mulanya berarti “pengakhir”, bukan cincin itu sendiri. Karena cincin sering digunakan sebagai stempel untuk mengakhiri surat, maka cincin disebut “khatam”.

Coba lihat pendapat para ahli bahasa tentang arti “khatam”:

Fairuzabadi dalam kitab Qamus Al Lughah berkata: “Khatm berarti mengecap dengan stempel. Juga berarti mengakhiri sesuatu, atau sesuatu telah sampai pada akhirnya.”

Jauhari dalam kitab bahasanya Shihah berkata: “Khatm berarti sampai di akhir.”

Ibnu Manzur dalam kitabnya Lisanul Arab berkata: “Katamul Qaum berarti orang terakhir pada suatu kaum. Sedang Khatamun Nabiyyin adalah nabi yang terakhir.”

Raghib dalam kitabnya Al Mufradat berkata: “Khatamun Nabiyyin yakni Rasulullah saw dengan kedatangannya telah menutup risalah kenabian dan mengakhirinya.”

Jadi, yang dimaksud dengan kata “khatam” dalam ayat tersebut adalah “terakhir”, bukan “hiasan” sebagaimana yang kalian yakini.”

Baha’i: “Kata “khatam” memang benar disebut unutk cincin yang mengakhiri suatu surat karena berlaku sebagai stempel yang biasa dipakai orang-orang saat itu. Maka benar artinya nabi Muhammad adalah nabi yang membenarkan nabi-nabi sebelumnya sebagaimana stempel membenarkan isi surat di atasnya.”

Muslim: “Dari segi bahasa dan percakapan dalam bahasa Arab, kata “khatam” tidak pernah digunakan sebagai pembenar sebagaimana yang kalian maksud. Kalau kalian katakan maksud “khatam” adalah “yang mengakhiri”, sebagaimana stempel itu mengakhiri sebuah surat, maka itu benar, dan artinya nabi adalah utusan Tuhan yang mengakhiri nabi-nabi.”

Baha’i: “Ayat yang kau baca menyebut Rasulullah saw sebagai “khatamun nabiyyin”, yakni akhir para nabi; ayat itu tidak mengatakan beliau adalah akhir para rasul. Jadi mungkin saja ada rasul yang datang setelah beliau meskipun tidak ada nabi lain yang datang setelahnya!”

Muslim: “Meskipun dalam Al Qur’an antara nabi dan rasul memiliki arti yang berbeda, misalnya Rasulullah saw menyebut nabi Ismail as sebagai nabi namun menyebut nabi Musa as sebagai rasul, namun masalah ini tidak bisa menjadi syubhat untuk permasalahan “khatamun nabiyyin”, karena nabi yang dimaksud adalah nabi yang diutus dari sisi Tuhan dan diberi wahyu oleh-Nya, entah diperintahkan untuk menyampaikannya ataupun tidak, sedangkan rasul adalah nabi yang diberi wahyu lalu diperintahkan untuk menyampaikannya. Jadi semua rasul adalah nabi, dan tidak semua nabi adalah rasul. Dengan demikian ayat tersebut mencakup para rasul. Ketika difirmankan tidak akan ada nabi setelah Rasulullah saw, maka artinya rasul pun tidak akan diutus setelah itu; sebagaimana yang sudah dijelaskan, rasul adalah nabi.”

Baha’i: “Penjelasan tentang nabi dan rasul begini: setiap kali ada nabi, maka tidak ada rasul, dan setiap kali ada rasul, tidak ada seorang nabi. Jadi apa yang kukatakan benar.”

Muslim: “Pengertian seperti itu bertentangan dengan pendapat para ulama dan ayat serta riwayat. Buktinya ayat di atas menyebut nabi Muhammad saw sebagai rasul dan juga nabi. Ia berfirman: “Tetapi ia adalah utusan Allah (Rasulullah) dan nabi terakhir.” Banyak pula riwayat yang menjelaskan bahwa beliau juga “khatamul mursalim”, yakni akhir para rasul, akhir para utusan Tuhan. Jadi tidak benar apa yang kalian katakan.”

Baha’i: “Mungkin saja maksud “khatamun nabiyyin” adalah beliau merupakan pengakhir nabi-nabi tertentu saja. Bisa jadi yang dimaksud “para nabi” bukanlah semua nabi.”

Muslim: “Lucu sekali pernyataan itu. Karena orang yang kurang lebih bisa bahasa Arab ketika membaca “an nabiyyin”, yang mana kata itu adalah jamak dan memiliki alif dan lam di sebelumnya, akan memahami bahwa kata itu umum, yang artinya mencakup seluruh nabi.”

Read More

MAKALAH BILANGAN BULAT (TEORI BILANGAN)

BAB I

PENDAHULUAN

A.    LATAR BELAKANG

Bilangan pada awalnya hanya dipergunakan untuk mengingat jumlah, namun dalam perkembangannya setelahpara pakar matematika menambahkan perbendaharaan simbol dan kata-kata yang tepat untuk mendefenisikan bilangan maka matematika menjadi hal yang sangat penting bagi kehidupan dan tak bisa kita pungkiri bahwadalam kehidupan keseharian kita akan selalu bertemu dengan yang namanya bilangan, karena bilangan selaludibutuhkan baik dalam teknologi, sains, ekonomi ataupun dalam dunia musik, filosofi dan hiburan serta banyak aspek kehidupan lainnya. Bilangan dahulunya digunakan sebagai simbol untuk menggantikan suatu benda misalnya kerikil, ranting yangmasing-masing suku atau bangsa memiliki cara tersendiri untuk menggambarkan bilangan dalam bentuk simbol.

Orang yang mahir matematika bukan berarti karena kebetulan. Untuk menguasai materi matematika disyaratkan mengetahui dan menguasai kajian dasarnya. Selanjutnya dia sering berlatih dengan soal-soal yang berkaitan dengan apa yang sedang dipelajarinya. Sehingga dia bisa menguasai secara benar teori, konsep dan penerapannya untuk mempelajari salah satu disiplin ilmu ini. Oleh karena itu untuk memenuhi tuntutan tersebut, dalam makalah singkat ini dicantumkan uaraian singkat tentang bilangan bulat. Bilangan bulat banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari, salah satu contohbya untuk mennetukan kedalaman laut, jika kita mengatakan kedalaman 20 m dibawah permukaan laut maka kita tulis -20 m.

B. RUMUSAN MASALAH

Rumusan masalah tentang makalah ini adalah :

1.      Apa sajakah sifat dasar bilangan bulat?

2.      Bagaimana operasi-operasi pada bilangan bulat?

3.      Bagaimanakah urutan-urutan pada bilangan bulat?

4.      Bagaimana pembuktian operasi pada bilangan bulat?

C. TUJUAN

Adapun tujuan dari makalah ini adalah :

1.      Agar dapat memahami sifat dasar pada bilangan bulat

2.      Agar dapat mengetahui operasi – operasi pada bilangan bulat

3.      Agar dapat memahami arti dari urutan bilangan-bilangan bulat,

4.      Agar dapat mengetahui pembuktian dari operasi bilangan bulat

BAB II

PEMBAHASAN

A.    SIFAT DASAR BILANGAN BULAT

Menurut Muh. Arif Tiro dkk (Teori Bilangan, 2008:111) mengatakan bahwa Sifat dasar bilangan bulat dimulai dengan definisi, karena definisi adalah cara formal untuk menjelaskan suatu pengertian dalam matematika.Jika n bilngan bulat, maka – n didefinisikan tunggal sehingga n + (n)= (-n) + n = 0.

Himpunan bilangan bulat adalah gabungan dari hmpunan bilangan cacah dan himpunan bilangan asli sehingga untuk setiap bilangan bulat n belaku sifat n + (n) = (-n) + n = 0. Jadi himpunan bilangan bulat dapat ditulis dalam bentuk daftar sebagai Z = . Bilangan bulat jika digambarkan dalam garis bilangan :

Sifat yang berlaku dalam himpunan bilangan bulat akan dibicarakan lebih terperinci sebagai berikut :

1.      Sifat Tertutup

·         Sifat tertutup terhadap  penjumlahan ada dengan tunggal yakni untuk setiap a dan b di dalam Z maka (a + b) juga di dalam Z

·         Sifat tertutup terhadap perkalian ada dengan tunggal, yakni untuk setiap a dan b  didalam Z maka a x b juga ada di dalam Z

2.      Sifat Komutatif

·         Sifat komutatif penjumlahan yaitu untuk setiap a dan b didalam Z berlaku a + b = b + a.

·         Sifat komutatif perkalian  yaitu  untuk setiap bilangan bulat a dan b berlaku a x b = b x a.

3.      Sifat Asosiatif

·         Sifat asosiatif terhadap penjumlahan yaitu untuk sebarang bilangan bulat a, b, dan c berlaku sifat (a+b)+c=a+(b+c)

·         Sifat asosiatif terhadap perkalian yaitu untuk sebarang bilangan bulat a, b, dan c berlaku (a x b) x c = a x (b x c)

4.      Sifat Distributif

·         Sifat distributif kiri perkalian terrhadap penjumlahan, yaitu untuk sebarang bilangan bulat a, b dan c berlaku sifat

a x (b + c) = (a x b) +(a x c)

·         Sifat distributive kanan perkalian  terhadap penjumlhan yaitu untuk sebarang bilangan u;at a, b, dan c berlaku sifat

(a + b) x c = (a x c) + (b x c)

5.      Unsur Identitas Penjumlahan

Untuk setiap bilangan bulat a, selalu berlaku a + 0 = 0 + a = a sehingga 0 disebut unsur identitas penjumlahan

6.      Unsur identitas perkalian

Untuk setiap bilangan bulat a, ada dengan tunggal bilangan bulat 1 sehingga a x 1 = 1 x a = 1 sehingga satu disebut unsur identitas perkalian.

Sifat kesamaan berikut penting untuk diketahui :

a.       Refleksi yaitu setiap bilangan bulat a berlaku a = a

b.      Simetris yaitu jika a = b maka b =a  untuk sebarang bilangan bulat a dan b ;

c.       Transitif yaitu jika a = b dan b = c maka a = c untuk sebarang bilangan bulat a, b, dan c.

d.      Substitusi, yaitu jika a = b, maka dapat disubstitusi untuk a, dalam suatu persyataan tanpa merubah nilai dari peryataan tersebut.

B.     PENJUMLAHAN BILANGAN BULAT

a)      Sifat-sifat Penjumlahan

1.      Sifat Asosiatif  : ( a + b ) + c = a + ( b + c )

Contoh : (5 + 3 ) + 4 = 5 + ( 3 + 4 ) = 12

2.      Sifat Komutatif : a + b = b + a

Contoh : 7 + 2 = 2 + 7 = 9

3.      Unsur Identitas terhadap penjumlahan

Bilangan Nol (0) disebut unsur identitas atau netral terhadap penjumlahan

a + 0 = 0 + a

Contoh : 6 + 0 = 0 + 6

4.      Unsur invers terhadap penjumlahan

·         Invers jumlah (lawan) dari a adalah –a

·         Invers jumlah (lawan) dari – a adalah a

·         a + (-a) = (-a) + a

Contoh : 5 + (-5) = (-5) + 5 = 0

5.      Bersifat Tertutup

Apabila dua buah bilangan bulat ditambahkan maka hasilnya adalah bilangan bulat juga. a dan b  bilangan bulat maka a + b = c ; c  bilangan bulat.

Contoh : 4 + 5 = 9 ; 4,5,9  bilangan bulat.

b)     Teorema Penjumlahan Bilangan Bulat

·         Jika a, b, dan c anggota himpunan blangan bulat Z, dan a = b maka

a + c = b + c

Bukti :

      Ambil a, b, dan c anggoata Z

      (a + c) Z                   (sifat tertutup)

      (a + c) = (a + c)           (sifat refleksi)

      a = b                            (diberikan)

      (a + c ) = (b + c)          (substitusi, 3 ke 2)

·         Jika a, b, dan c anggota dari himpunan bilangan bulat Z, dan a + c = b + c maka a = b

Bukti :

      ambil a, b, dan c di Z

      1). (a + c) (a + c) ∈ Z                                      sifat tertutup

      2). a + c = b + c                                              diberikan

      3). – c ∈ Z                                                       Invers tambahan

      4). (a+c) + (-c) = b + (c + (-c))

      5). a + (c + (-c)) = b + (c + (-c))         

      6). c + (-c) = 0

      7). a + 0 = b + 0

      8). a+0=a dan b+0=b

      9). a = b

Teorema diatas biasanya dikenal dengan sifat penghapusan dari penjumlahan

·         Bukti bahwa (-a) + (-b) = - (a + b)

Misalkan a dan b bilangan – bilangan cacah, maka (-a) + (-b) merupakan jumlah dua bilangan negatif. Misal (-a) + (-b) = c maka c = (-a) + (-b).

c + b = ((-a) + (-b)) + b                        sifat kesamaan

c + b = (-a) + ((-b) + b)                        sifat asosiatif penjumlahan

c + b = (-a) + 0                                    invers penjumlahan

(c + b) + a = (-a) + a                            sifat kesamaan

(c + b) + a = 0                                                 invers penjumlahan

c + (b + a) = 0                                                 sifat asosiatif penjumlahan

c + (a + b) = 0                                                 sifat komutatif penjumlahan

(c + (a + b)) + (-(a + b)) = – (a + b)     sifat kesamaan

c +((a + b) + (-(a + b))) = – (a + b)      sifat asosiatif

c + 0 = – (a + b)                                  invers penjumlahan

Jadi kesimpulannya (-a) + (-b) = – (a + b)

C.    PENGURANGAN BILANGAN BULAT

a)      Sifat-sifat Pengurangan Bilangan Bulat

Bilangan bulat a dikurangi bialangan bulat bsama artinya dengan bulat a ditambahkan dari lawan bilangan bulat, atau dapat ditulis  a - b = a + (-b)

Pengurangan bilangan cacah tidak bersifat tertutup, artinya bila suatu bilangan cacah dikurungkan dengan bilangan cacah yang lain, hasilnya belum tentu bilangan cacah. Pengurangan bilangan cacah (a - b) menghasilkan bulangan cacah hanya jika a b. Tetapi, pengurangan bilangan bulat memiliki sifat tertutup. Secara lengkap sifat-sifat pengurangan bilangan bulat adalah sebagai berikut :

1.      Untuk sembarang bilangan bulat berlaku :

·         a – b = a + (-b)

·         a – (-b) = a + b

Contoh:          

8 – 5 = 8 + (-5) = 3

7 – (-4) = 7 + 4 = 11

2.      Sifat Komutatif dan asosiatif tidak berlaku

·         a – b ≠ b – a

·         (a – b ) – c ≠ a – ( b – c )

Contoh :

7 – 3 ≠ 3 -7 􀃆 4 ≠ - 4

(9 – 4) – 3 ≠ 9 – (4-3) 􀃆 2 ≠ 8

3.      Pengurangan bilangan nol mempunyai sifat :

a – 0 = a dan 0 – a = -a

4.      Bersifat tertutup, yaitu bila dua buah bilangan bulat dikurangkan hasilnya adalah bilangan bulat juga : a dan b ∈ bilangan bulat maka a - b = c ; c ∈ bilangan bulat.

Contoh :

7 - 8 = -1 à 7, 8, -1 ∈ bilangan bulat

b)     Teorema Pengurangan Bilangan  Bulat

·         a – (-b) = a + b untuk sebarang bilangan bulat a dan b

Bukti ;

ambil bilangan bulat a dan b

a – (-b) = a + (-(-b)      defenisi pngurangan

= a + b             teorema penjumlahan

·         a - b = (a - c) - (b - c) untuk sebarang bilagan bulat a, b, dan c.

bukti :

ambil sebarang bilangan bulat a, b, dan c

a – b    = a + (-b)                     Defenisi Pengurangan

                        = ((a + (-b)) + 0                       Identitas Tambahan

                        = a + (- ) + c + (-c)                  Invers Tambahan

                        =(a + (-c)) + ((-b) + c)             Asosiatif Tambah

                        = (a + (-c)) + ((-b) + (-(-c)))     Teorema Dalam Penjumlahan

                        = (a + (-c)) + (-(b + (-c)))         Teorema Dalam Penjumlahan

                        = (a-c) - (b + (-c))                    Defenisi pengurangan

                        = (a-c) - (b-c)                           Defenisi pengurangan

D.    PERKALIAN BILANGAN BULAT

a)      Sifat-sifat Perkalian Bilangan Bulat

1.      Untuk sembarang bilangan bulat berlaku :

·         a x b = ab à hasil perkalian dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif.

Contoh: 7 x 6 = 6 x 7 = 42

·         a x –b = -ab à hasil pekalian bilangan bulat positif dan negatif hasilnya adalah bilangan bulat negatif.

Contoh : 3 x -4 = -12

·         -a x -b = ab à hasil perkalian dua bilangan negatif adalah bilangan  

·         bulat positif.

Contoh : -4 x -5 = 20

2.      Sifat Asosiatif : (a x b) x c = a x (b x c)

Contoh: (2 x 3) x 4 = 2 x (3 x 4) = 24

3.      Sifat Komutatif : a x b = b x a

Contoh : 5 x 4 = 4 x 5 = 20

4.      Sifat Distributif : a x (b+c) = (a x b ) + (a x c)

Contoh : 3 x ( 2 +6) = (3 x 2) + (3 x 6) = 24

5.      Unsur Identitas Untuk Perkalian

·         Hasil perkalian bilangan bulat dengan nol hasilnya adalah bilangan nol : a x 0 = 0

·         Hasil perkalian bilangan bulat dengan 1 hasilnya adalah bilangan bulat itu juga : a x 1 = 1 x a = a

6.      Bersifat Tertutup

Jika dua bilangan bulat dikalikan maka hasilnya adalah bilangan bulat juga a x b = c ; a, b, c ∈ bilangan bulat

b)     Teorema Perkalian Bilangan Bulat

·         Jika a, b, dan c angggota himpunman bilangan bulat Z dan a = b maka       a x c = b x c

Bukti :

                  ambil a, b, dan c di Z

1.      (a x c )  Z                  sifat tertutup

2.      a x c = a x c                 sifat refleksi

3.      a = b                            diberikan

4.      a x c = b x c                 substitusi 3 ke 2

·         Jika a, b, dan c anggota himpunam bilanga bulat Z maka           

(a + b) x c = (a x c) + (b x c)

Bukti :

Ambil a, b, dan c di Z

1.      (a + b) x c  Z

2.      (a + b) x c = c x (a + b)

3.      c x (a + b) = (c x a) + (c x b)

4.      (c x a) = (a x c) dan ((c x b) = (b x c)

5.      (a + b) x c = (a x c) + (b x c)

·         Jika a anggota bilangan bulat  Z  maka a x 0 = 0 dan 0 x a = 0

Bukti :

Ambil a, b, dan c di Z.

1). a = a

2). 0 = 0 + 0

3). a x 0 = a x (0 + 0)

 4). a x 0 = (a x 0) + (a x 0)

5). 0 + (a x 0) = (a x 0)

6). 0 + (a x 0) = (a x 0) + (a x 0)

7). 0 = (a x 0)

8). (a x 0) = 0

9). (0 x a) = 0

Berikut akan diperlihatkan bagaimana memberi makna perkalian dua bilangan bulat yang satu negatif dan lainnya positif. Misalkan a dan b adalah bilangan cacah, maka a bilangan bulat positif dan (-b) bilangan bulat negatif. Akan diperlihatkan bahwa a x (-b) = -(a x b).

Bukti :

1.      a x (b + (-b)) = a x 0

2.      (a x b) + (a x (-b)) = 0

3.      (a x (-b)) + (a x b) = 0

4.      ((a x (-b)) + (a x b)) + (-(a x b)) = 0 + (- (a x b))

5.      (a x (-b)) + ((a x b) + (-a(a x b))) = - (a x b)

6.      a x (-b) + 0 = - (a x b)

7.      a x (-b) = - (a x b)

Mengingat sifat komutatif pada perkalian bilangan bulat, maka :

8.      (-a) x b = b x (-a)

9.      = – (b x a)

10.  = -(a x b)

·         Buktikan bahwa (-a)(b + (-c)) = ac – ab.

Bukti  :

(-a)(b + (-c))

=  (-a)(b) + (-a)(-c) sifat distributif perkalian penjumlahan

=  (-(ab)) + ac perkalian bilangan bulat (-a) x b = -ab dan (-a) x (-c) = ac

=  ac + (-(ab)) sifat komutatif perkalian

= ac – ab penjumlahan 2 bilangan bulat (misal : a + (-b) = a – b)

Jadi terbukti bahwa (-a)(b + (-c)) = ac – ab.

E.     PEMBAGIAN BILANGAN BULAT

a)      Sifat-sifat Pembagian Bilangan Bulat

Jika  a, b, dan c bilangan bulat dengan b  0, maka  a ÷ b = c jika dan hanya jika a = b x c.

Hasil bagi bilangan bulat (a ÷ b)  merupakan suatu bilangan bulat jika dan hanya jika a kelipatan dari b, sehingga untuk setiap bilangan bulat a dan b hasil bagi (a ÷ b) tidak selalu merupakan bilangan bulat. Karena itu, pembagian bilangan bulat tidak bersifat tertutup. Sifat-sifat pembagian bilangan bulat adalah sebagai berikut :

1.      Hasil bagi dua bilangan bulat positif adalah bilangan positif

(+) ÷ (+) = (+)

Contoh : 8 ÷ 2 = 4

2.      Hasil bagi dua bilangan bulat negatif adalah bilangan positif

(-) ÷ (-) = (+)

Contoh : -10 : -5 = 2

3.      Hasil bagi dua bilangan bulat yang berbeda adalah bilangan negatif

(+) ÷ (-) = (-)

(-) ÷ (+) = (-)

Contoh :    6 ÷-2 = -3

-12 ÷ 3 = -4

4.      Hasil bagi bilangan bulat dengan 0 (nol) adalah tidak terdefinisi

a ÷ 0 à tidak terdefinisi (~)

0 ÷ a à 0 (nol)

Contoh :  = ~ (Tidak terdefinisi)

5.      Tidak berlaku sifat komutatif dan asosiatif

a ÷ b ≠ b : a

(a ÷ b) ÷ c ≠ a ÷ (b ÷ c)

Contoh :    4 ÷ 2 ≠ 2 ÷ 4 à 2 ≠

(8 ÷ 2) ÷ 4 ≠ 8 ÷ (2 ÷ 4) à 1 ≠ 16

b)     Teorema Pembagian Bilangan Bulat

·         Mengingat bahwa (-a) x (b)= (a) x (-b)  = -(ab) dan berdasarkan defnisi pembagian, kita dapat mengemukakan sifat berikut :

1.      –(ab) ÷ a = (-b)                 

2.      –(ab) ÷  b = (-a)

3.      -(ab) ÷  (-a) = b

4.      -(ab) ÷  (-b) = a

Demikian pula karena (-a) x (-b) = a x b maka:

5.      ab ÷ (-a) = (-b)

6.       ab ÷ (-b) = (-a)

·         Buktikan bahwa (-a)(b + (-c)) = ac – ab.

Bukti :

(-a)(b + (-c))

=  (-a)(b) + (-a)(-c) sifat distributif perkalian penjumlahan

=  (-(ab)) + ac perkalian bilangan bulat (-a) x b = -ab dan (-a) x (-c) = ac

=  ac + (-(ab)) sifat komutatif perkalian

=  ac – ab penjumlahan 2 bilangan bulat (misal : a + (-b) = a – b)

Jadi terbukti bahwa (-a)(b + (-c)) = ac – ab.

F.     PEMANGKATAN BILANGAN BULAT

Definisi:

an = a x a x a x … x a

Sejumlah n faktor

Contoh :          4³ = 4 x 4 x 4 = 64

3⁵= 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243

1.      Akar kuadrat (akar pangkat dua)

 = b à ( )² =b² à a = b² = b x b

Contoh :

 = ? à = 9²  = 9 x 9 à b = 9

 = ? à   = b² à b = nilainya tidak bulat

             =   =     = 2  

2.      Akar kubik (akar pangkat tiga)

  = b à ( ) ³ = b³ = b x b x b

Contoh :

= ? à = 3³ = 3 x 3 x 3 à b = 3

= ? à =  x = 3

G.    URUTAN BILANGAN BULAT

Berikut ini , kita akan mempelajari relasi urutan bilangan-bilangan bulat. Ada beberapa definisi yaitu :

1.      Jika a dan b bilangan-bilangan bulat, a lebih kecil dari b (dinyatakan dengan a < b) jika dan hanya jika ada bilangan bulat positif c sedemikian hingga a + c = b

2.      Jika a dan b bilangan-bilangan bulat, a lebih besar dari b (dinyatakan dengan a > b) jika dan hanya jika b < a atau b + c = a untuk suatu bilangan positif c.

Urutan bilangan-bilangan bulat ini akan tampak jelas pada garis bilangan berikut.

Pada garis bilangan, a < b ditunjukkan bahwa titik yang menyatakan a berada di sebelah kiri titik yang menyatakan b. Misalkan (-4) < (-1), terlihat pada garis bilangan itu bahwa titik yang menyatakan (-4) berada di sebelah kiri dari titik yang rnenyatakan (-1). Kita telah mempelajari bahwa jika a dan b bilangan-bilangan cacah, maka berlaku tepat satu relasi di antara a < b,  a = b dan a > b yang terkenal sebagai sifat trikotomi.

Apakah sifat trikotomi berlaku pada bilangan-bilangan bulat?Coba selidiki pula bahwa relasi "lebih kecil dari" pada bilangan-bilangan bulat berlaku sifat-sifat irrefleksif, asimetris dan transitif! Demikian pula, Anda dengan mudah dapat membuktikan kebenaran pernyataan-pernyataan berikut.

Apabila a, b, c, dan b bilangan-bilangan bulat pernyataan berikut bernilai benar :

1)      a = b maka a + c = b + c

2)      a = b maka a x c = b x c

3)      a = b dan a = d maka a +c = b + d

4)      a + c = b + c maka a = b

5)      a x c = b x c dengan c ≠ 0 maka a = b.

Pembuktian Sifat-sifat itu adalah sebagai berikut :

Sifat 1

Jika a, b dan c bilangan-bilangan bulat, maka a < b Jika dan hanya jika       a + c < b + c.

Bukti:

        i.            Dibuktikan jika a < b maka a + c < b + c.

Ambil bilangan bulat a, b, dan c,untuk penyerhanaan symbol Z⁺ menyatakan himpunan  bilangan bulat posistif.

a < b berarti ada bilangan bulat positif k sedemikian hingga

a + k = b definisi "lebih kecil dari"

(a + k) + c = b + c sifat penjumlahan pada kesamaan

a + (k + c) = b + c sifat asosiatif penjumlahan

a + (c + k) = b + c sifat komutatif penjumlahan

(a + c) + k = b + c sifat asosiatif penjumlahan

      ii.            Dibuktikan, jika a + c < b + c maka a < b.

Ambil bilangan bulat a, b dan c.

a + c < b + c berarti ada bilangan bulat positif p sedemikian hingga

(a + c) + p = b + c definisi "lebih kecil dari"

a + (c + p) = b + c sifat asosiatif penjumlahan

a + (p + c) = b + c sifat komutatif penjumlahan

(a + p) + c = b + c sifat asosiatif penjumlahan

{(a + p) + c} + (-c) _ (b + c) + (-c) sifat penjumlahan pada kesamaan

(a + p) + (c + (-c)) = b + (c + (-c)) sifat asosiatif

(a + p) + 0 = b+ 0 invers penjumlahan

a + p = b.

a < b definisi "lebih kecil dari"

Dari (i) dan (ii) terbuktilah bahwa a< b jika dan hanya jika a + c < b + c

Perhatikan jika a + c < b + c maka a < b belum dapat dibuktikan apabila a, b dan c bilanganbilangan cacah (Mengapa?).

Sifat 2.

Jika a dan b bilangan-bilangan bulat dan c bilangan bulat positif serta a < b maka a x c < b x c.

Bukti:

Ambil bilangan bualat a dan b serta bilangan bulat positif c.

a < b berarti  k  Z⁺ a + k = b defenisi lebih kecil dari

( a + k) x c = b x c teorema 3.6

( a x c) + ( k x c) = b x c

a x c < b x c defenisi “lebih kecil dari “, karena ( k x c ) elemen z^-+

konvers dari sifat 2 juga benar, seperti di jelaskan pada sifat 3.

Sifat 3.

Jika a dan b bilangan-bilangan bulat dan c bilangan bulat positif serta a x c < b x c maka a < b.

Bukti:

ambil bilangan bulat a dan b serta bilangan bulat positif c.

Diberikan a x c < b x c

a x c < b x c

(a x c) + (-(b x c)) < (b X c) + (-(b x c))

(a x c) + (-b)) x c < 0

(a + (-b)) + b< 0 + b

a + ((-b) + b) < b

a

Sifat 4

Jika a dan b bilangan bilangan bulat dan c bilangan bulat negatif serta a < b maka a x b > b x c

Bukti:

a < b berarti ada bilangan bulat positif k sedemikian hingga a + k = b definisi "lebih kecil dari"

(a + k) x c = b x c sifat perkalian pada kesamaan

(a x c)+ (k x c) = b x c sifat distributive perkalian terhadap penjumlahan

Karena k bilangan bulat positif dan c bilangan bulat negatif, maka (k x c) suatu bilangan bulat negatif,

sehingga (k x c) bilangan bulat positif.

{(a x c) + (k x c)} + ( -(k x c)) = (b x c) + (-(k x c)

Sifat penjumlahan pada kesamaan

(a x c) + {(k x c) + (-(k x c))} = (b x c) + (-(k x c))

Sifat asosiatif penjumlahan

(a x c) +0 = (b x c) + (-(k x c)= invers penjumlahan

(a x c) = (b x c) + (-(k x c)) Karena (-(k x c)) bilangan positif, maka

a x c > b x c Definisi “lebih kecil dari “.

BAB III

PENUTUP

   

A. Penutup

Himpuanan bilangan bulat adalah gabungan dari himpunan bilangan cacah dan himpunan bilangan bulat negatif.Sifat – sifat pada bilangan bulat adalah sifat tertutup, sifat kmutatif, sifat asosiatif, sifat distributive dan adapula unsur identitas penjumlahan dan perkalian. Operasi-operasi pada bilangan bulat yaitu operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian

definisi relasi “lebih kecil dari” pada bilangan-bilangan cacah, dan telah membuktikan sifat-sifatnya. Berikut ini , kita akan mempelajari relasi urutan bilangan-bilangan bulat. Ada beberapa definisi yaitu :

1. Jika a dan b bilangan-bilangan bulat, a lebih kecil dari b (dinyatakan dengan a

2. Jika a dan b bilangan-bilangan bulat , a lebih besar dari b ( di nyatakan dengan a > b ) bila dan hanya bila b

B. SARAN

Sebagai calon pendidik di bdang Matematika, hendaknya kita  dapat mengetahui tentang teori bilangan teutama mengenai sifat dan operasi bilangan bulat serta urutan bilangan bulat dalam garis bilangan. Sehingga dengan begitu sebagai calon pendidik  tahu secara umum mengenai teori bilangan

DAFTAR PUSTAKA

Astuty, B. (2009). Ayo Belajar Matematika. Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional.

http://articlesgenius.wordpress.com/2013/03/16/macam-macam-bilangan-dalam-matematika/ www.scribd.com (di akses Rabu,12 November 2014)

http://septianari.blogdetik.com/ (di akses Rabu,12 November 2014)

WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM  (di akses Rabu,12 November 2014)

Read More